D'Alembert: La Progresión Negativa Suave

La Martingala tiene un problema evidente: dobla. Después de siete derrotas te pide 128 units y la mesa se ríe. La pregunta obvia es si el mismo instinto (apostar más cuando vas perdiendo) sobrevive si en lugar de duplicar sumas de a poco.

Eso es D'Alembert, y la respuesta es interesante: sobrevive mucho más de lo que uno esperaría, produce más noches ganadoras que casi cualquier otro sistema del módulo, y sigue siendo el más caro de todos.

La mecánica

Una escalera de peldaños iguales, sin tope:

Empiezas apostando 1 unit.
Cada vez que pierdes, sumas 1 unit a la apuesta.
Cada vez que ganas, restas 1 unit.
El piso es 1 unit: nunca bajas de ahí.

Con paso 1, una racha perdedora se ve así:

Pérdidas seguidas	Martingala	D'Alembert
0	1 u	1 u
1	2 u	2 u
2	4 u	3 u
3	8 u	4 u
4	16 u	5 u
5	32 u	6 u
6	64 u	7 u
8	256 u	9 u
10	1.024 u	11 u

Después de diez derrotas seguidas la Martingala pide más de mil units y D'Alembert pide once. El crecimiento es lineal en vez de exponencial, y eso cambia por completo qué tan lejos puede llegar antes de chocar contra algo.

La propiedad que lo hace atractivo

D'Alembert tiene un resultado aritmético real, y vale la pena entenderlo bien porque es lo que sostiene su fama:

Si terminas con la misma cantidad de victorias que de derrotas, terminas ganando.

No empatado: ganando. Y la ganancia es, aproximadamente, el número de victorias multiplicado por el paso.

La razón es que las victorias llegan, en promedio, en peldaños más altos que las derrotas. Cada derrota sube la apuesta, así que la victoria que la sigue se cobra más cara de lo que costó la derrota anterior. Míralo en una secuencia perfectamente alternada, empezando por una derrota:

Mano	Resultado	Apuesta	Acumulado
1	Pierdes	1 u	−1
2	Ganas	2 u	+1
3	Pierdes	1 u	0
4	Ganas	2 u	+2
5	Pierdes	1 u	+1
6	Ganas	2 u	+3

Cinco victorias y cinco derrotas darían +5 units, donde el flat bet queda exactamente en cero.

Dónde se rompe la propiedad. En el piso. Si ganas estando ya en 1 unit, no puedes bajar a 0, así que esa victoria no se cobra en un peldaño alto. Cuantas más veces toques el piso, menos vale el mecanismo. Y hay algo más importante: la propiedad exige que las victorias y las derrotas se emparejen, y en Blackjack no se emparejan: pierdes el 52.7% de las manos resueltas. La condición del teorema simplemente no se cumple.

La simulación: Flat bet contra D'Alembert

Dos calibraciones del sistema, paso 1 y paso 0.5, contra la referencia:

Los cuatro escenarios resumen el sistema completo: gana en tres de cuatro y pierde fuerte en el cuarto. Es el mismo perfil de la escalera suave que verás en la lección siguiente, llevado más lejos, porque D'Alembert no tiene tope.

Por qué la propiedad no es una ventaja

El argumento de siempre, aplicado aquí. Cada mano devuelve −0.5% de lo que pusiste en ella, y el resultado esperado es la suma:

E[sesión] = −0.005 × (total apostado)

D'Alembert mueve unas 232 units por sesión de 100 manos, contra 91 del flat bet: dos veces y media más dinero expuesto. Es el sistema que más apuesta de todo el módulo, incluida la Martingala.

Y la propiedad de "victorias iguales a derrotas produce ganancia" es cierta y no sirve, por una razón sencilla: no controlas cuántas victorias vas a tener. El sistema te paga bien en las sesiones donde el reparto sale parejo, y te cobra la diferencia en las sesiones donde no. Como en promedio pierdes más manos de las que ganas, la cuenta cierra donde tiene que cerrar.

El costo real, y por qué necesita tanto aire

Sobre 20.000 sesiones simuladas de 100 manos con buy-in de 40 units:

	Flat bet	D'Alembert paso 0.5	D'Alembert paso 1
Sesiones que terminan en positivo	47.7%	51.3%	40.6%
Mediana de la sesión	−0.5 u	+2.5 u	−40 u
Peor 5% de las sesiones	−19 u	−41 u	−43.5 u
Mejor 5% de las sesiones	+18 u	+48.5 u	+78.5 u
Apuesta máxima media	1 u	6.2 u	9.7 u
Sesiones que agotan el buy-in	0%	36.9%	53.4%

La última fila es la que manda. Con paso 1 y un buy-in de 40 units, más de la mitad de las sesiones terminan sin dinero antes de la mano 100. El paso 1 es simplemente demasiado para una banca de sesión normal.

Con paso 0.5 el sistema se vuelve el que más noches ganadoras produce de todo el módulo, pero sigue quemando el buy-in más de un tercio de las veces. Necesita mucho más aire:

Buy-in de sesión	Sesiones ganadoras	Mediana	Termina en stop-loss
25 units	42.6%	−25 u	51.2%
40 units	51.5%	+3.4 u	36.6%
60 units	57.6%	+11 u	23.8%
80 units	60.5%	+13.5 u	16.1%

Con 80 units de buy-in, seis de cada diez noches terminan en positivo. Es la tasa más alta de todo el módulo. Y aun así, una de cada seis sesiones se queda sin banca, y el costo esperado es el peor de todos los sistemas comparados.

Ochenta units de buy-in significan una banca total de 400 a 500 units. En una mesa de $10, eso son entre $4.000 y $5.000 para jugar con una unidad de $10.

El espejo: Contra-D'Alembert

Existe la versión invertida: subir 1 unit al ganar y bajar 1 al perder. Es una progresión positiva, y por lo tanto no puede quebrarte durante una racha perdedora.

Suena mejor y en la práctica es peor: al no tener retiro ni tope, la apuesta se queda arriba después de cada racha ganadora y baja de a un peldaño por vez, así que devuelve lo ganado lentamente. En la simulación produce solo el 29% de sesiones ganadoras, la tasa más baja de todos los sistemas probados. El Paroli resuelve mucho mejor la misma idea, y lo verás en dos lecciones.

Veredicto

D'Alembert con paso 0.5 es un perfil de riesgo defendible solo si puedes sostener un buy-in de 60 a 80 units. Compra la tasa de sesiones ganadoras más alta del módulo al costo esperado más alto del módulo, y ese intercambio es explícito y legítimo.

Con paso 1, o con un buy-in de 40 units o menos, no es defendible: quema la banca de sesión más de un tercio de las veces. Si tu banca no da para el aire que pide, la escalera suave de la lección siguiente ofrece un perfil parecido por mucho menos capital.